فصل سوم
عمل گروه‌وار و کاربرد آن در -فضاها
تعریف ۳-۱٫ عمل چپ گروه‌وار
فرض کنید یک گروه‌وار روی و یک مجموعه‌ی دلخواه باشد. عمل چپ روی ، شامل یک تابع و یک تابع جزئی
است جایی‌که
به طوری‌که به هر ، یک عنصر نظیر می‌شود که، و.
همچنین باید در قوانین زیر صادق باشد:
۱- اگر و ، آ‌ن‌گاه ‌.
۲- اگر، و ، آن‌گاه .
بنابراین می‌گوییم روی توسط از چپ عمل می‌کند. همچنینیک –مجموعه می‌باشد.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

نکته ۳-۲٫ از تعریف بالا برای یک عمل می‌بینیم که عنصر ، نگاشت دوسویی
را تعریف می‌کند.
تعریف ۳-۳٫ عمل متعدی
اگر برای هر ، و ، یک ، موجود باشد به طوری‌که ، عمل را متعدی گوییم.
تعریف ۳-۴٫ فرض کنیم یک ریخت پوششی باشد.
اصطلاحاً می‌گوییم عنصر از ، را می‌پوشاند یا یک بالابر از می‌باشد. به طور مشابه می‌گوییم ترکیب در ،را می‌پوشاند یا یک بالابر از است.
گزاره ۳-۵٫ فرض کنیدیک شیء از و . اگر متعلق به باشد آن‌گاه عناصر یکتای از وجود دارند به طوری‌که
۱- برای، .
۲- به‌صورت تعریف می‌شود و متعلق به می‌باشد.
برهان. فرض کنید برای هر ، نگاشت دوسویی باشد. بنابراین عناصر با قرار دادن شرایط زیر به طور یکتا تعریف می‌شوند.
۱- .
۲- .
۳- جایی‌که و برای ، نقطه‌ی پایانی باشد.
بنابراین ترکیب بامعنا می‌باشد و نقطه‌ی شروع همان نقطه‌ی شروع یعنی می‌باشد. پس .■
مثال ۳-۶٫ فرض کنید یک ریخت پوششی از گروه‌وارها باشد. همچنین فرض کنید و ، آن‌گاه یک عمل چپ از روی توسط را به این‌صورت تعریف می‌کنیم که به هر و ، هدف بالابر یکتایبا منبع را نسبت می‌دهیم. به این‌ معنی که عمل را هدف بالابر یکتای تعریف می‌کنیم.
بالابر یکتای را در نظر می‌گیریم. طبق تعریف ۳-۴، و چون یک ریخت است پس و . بنابراین داریم:
و
پس تابع
تعریف‌شده می‌باشد. حال شرایط عمل را بررسی می‌کنیم.
۱- برای و ، داریم . چون یک طوقه با منبع می‌باشد پس . بنابراین .
۲- برای ، و داریم:
و
تعریف ۳-۷٫ ریخت بین عمل‌های چپ گروه‌واری
یک ریخت از عمل‌های چپ، یک تابع است به طوری‌که
و
جایی‌که تعریف‌شده باشد.
بنابراین اگر تعریف‌شده باشد، داریم و چون ، پس . درنتیجه نیز تعریف شده می باشد.
نکته ۳-۸٫براساس تعاریف ۳-۱ و ۳-۷، رسته‌ی از عمل‌های چپ روی مجموعه‌ها را داریم.
تعریف ۳-۹٫ عمل راست گروه‌وار
فرض کنید یک گروه‌وار روی و یک مجموعه‌ی دلخواه باشد. یک عمل راست روی شامل یک تابع و یک تابع جزئی
می باشد جایی‌که
به‌طوری‌که به هر یک عنصر نظیر می‌شود که ، و .
همچنین در قوانین زیر صادق باشد:
۱- اگر و ، آن‌گاه .
۲- اگر ، و ، آن‌گاه .
بنابراین می‌گوییم روی توسط از راست عمل می‌کند.